Треугольник как магический символ
69518 Views 05 июня, 2017 12 комментариев ЗНАКИ И СИМВОЛЫ Магия Шувани
Треугольник является одной из первых геометрических фигур, которая стала использоваться в орнаментах древних народов. В Древнем Египте он был прямоугольным и являлся воплощением триады духовной воли, любви и высшего разума человека.
Треугольник — символ триединой природы вселенной: Небо, Земля, Человек; отец, мать, дитя; человек как тело, душа и дух; мистическое число три; тройка, первая из плоских фигур. Отсюда символ поверхности вообще. Поверхность состоит из треугольников (Платон).
Равносторонний треугольник символизирует завершение.
На Древнем Востоке почитали треугольник как символ природы всего сущего. Треугольник с вершиной, соединенной с такой же геометрической фигурой, аптеки использовали в качестве эмблемы временного цикла.
Герменевтической традиции известно множество видов треугольников, имеющих различные толкования.
Янтра Тары
Треугольник, обращенный вершиной вниз, является лунным и имеет символику женского начала, матки, воды, холода, природы, тела, йони, шакти. Символизирует Великую Мать как родительницу. Горизонтальная линия — это земля; ее цвет — белый. В символике горы и пещеры гора — это мужской, обращенный вверх треугольник, а пещера — треугольник женский, обращенный вершиной вниз. Во многих янтрах богинь в середине помещен треугольник вершиной вниз с точкой.
Треугольник, обращенный вершиной вверх, является солнечным и имеет символику жизни, огня, пламени, жара (отсюда горизонтальная линия, символизирующая воздух), мужское начало, лингам, шакта, духовный мир; это также троица любви, истины и мудрости.
Гексаграмма. При его наложении на описанный выше знак женского начала мы получим индуистскую эмблему объединения созидающего и порождающего начал — гексаграмму.
В индийской традиции такой символ толковался также и как знак любви богов ко всему земному. В Европе же данная геометрическая фигура была известна как звезда Давида.
Треугольник, вписанный в окружность, олицетворяет собой мир форм, заключенный в круге вечности. Плутарх, описывая эту геометрическую фигуру, называл пространство, ограниченное сторонами треугольника, равниной истины, на которой расположены образы всего, что было и будет. Треугольники могут выступать и в качестве лунного символа, тогда они располагаются горизонтально и соприкасаются своими вершинами. Общая точка этих треугольников символически обозначает смерть и новолуние.
В буддийской традиции два смыкающихся треугольника олицетворяют чистое пламя и Три Драгоценности Будды.
Троица и треугольник
Начиная с ранних христиан треугольник был символом Святой Троицы. Равносторонний треугольник толковался как равенство и единая божественная сущность Бога Отца, Бога Сына и Духа Святого. Иногда этот символ составляли из трех переплетенных между собой рыб. Символ Троицы по католической традиции составлялся из трех малых треугольников, вписанных в один большой с кругами на вершинах. Три этих круга означают триединство, но каждый круг независим и совершенен сам по себе. Эта схема иллюстрировала принцип триединства и вместе с тем индивидуальности каждого составляющего Святой Троицы.
Печать Соломона
Печать Соломона — другое название звезды Давида, образованной наложением друг на друга двух треугольников, т.е. гексаграммы. По преданию, царь Соломон с помощью этого знака управлял духами, заключенными в медный сосуд. Считается, что печать Соломона является мощным амулетом, способным защитить своего обладателя от влияния злых духов.
Треугольник Кеплера
В начале XVII в. знаменитый астроном Кеплер составил диаграмму соединения планет Сатурна и Юпитера. Так в астрономии называют расположение планет, при котором для земного наблюдателя эклиптические долготы равны нулю, а сами небесные тела находятся близко друг к другу или даже перекрываются. Кеплер представил это явление в виде треугольника, который вращается по зодиакальному кругу, совершая полный оборот за 2400 лет.
Треугольник в античной архитектуре
В античной традиции треугольник, обращенный вершиной вверх, символизировал стремление материи к духу. Поэтому фронтоны древнегреческих храмов в самой глубокой древности делали треугольными и всячески украшали. В отличие от поздних, более северных европейских построек наличие двускатной крыши не было вызвано климатическими условиями. В Древней Греции был теплый климат и снега зимой не было.
Треугольники на сосудах
В эпоху неолита у ранних земледельческих народов треугольники в орнаментах символизировали воздух, землю и огонь.
Они — одни из самых древних символов, связанных с сельскохозяйственными работами, природой и ее календарными циклами.
Созвездие Треугольника
Точное происхождение названия этого созвездия неизвестно. Свое название оно получило на Древнем Востоке, его знали и использовали в навигации финикийские мореходы. Для них оно символизировало священный камень пирамидальной формы. Треугольник входил в число 48 классических созвездий античности. Древние греки считали, что это — перенесенная на небо дельта Нила, что указывает на египетские корни названия созвездия. Уже в Новое время на звездном небе были выделены созвездия Южного Треугольника и Наугольника.
Глаз в треугольнике
Символ, графически представляющий собой вписанный в треугольник глаз, называемый «глазом провидения» или «всевидящим оком», появился в Европе в XVII веке. Считается, что он восходит к солярному глазу Гора древних египтян. Этот знак получил широкое распространение в барочной архитектуре, украшая фронтоны роскошных католических костелов.
В XIX веке он появился и на православных храмах, например, на фронтоне Казанского собора в Санкт-Петербурге. Христианство рассматривало его как символ Святой Троицы. Одновременно этот символ использовался и масонами, которые трактовали его как символ абсолюта, просвещения и высшего знания. У масонов «глаз провидения» располагается над стулом мастера ложи, чтобы таким образом напоминать о всепроникающей во все тайны мудрости Творца.
Треугольник в круге означает мир форм, заключенный в круге вечности. Область внутри такого треугольника есть общий центр их всех и именуется Равниной Истины, на которой находятся причина, формы и образы всего, что было и что будет; они пребывают там в покое, который не может быть нарушен, и Вечность окружает их; и отсюда время, как струя фонтана, стекает вниз в миры (Плутарх).
Три соединенных треугольника обозначают ненарушимое единство трех лиц Троицы.
Двойной треугольник, шестиконечная звезда, Печать Соломона, Могун Давид, говорит о том, что каждая истинная аналогия должна быть употребима обратно, что вверху, то и внизу.
Два треугольника, лежащие горизонтально и соприкасающиеся вершинам, — это лунный символ, растущая и убывающая Луна, вечное возвращение, смерть и жизнь, умирание и воскрешение. Точка соприкосновения — это новолуние и смерть. У алхимиков два треугольника — сущность и субстанция, forma и materia, дух и душа, сера и ртуть, стабильное и изменчивое, духовная сила и телесное существование.
Треугольники, символизирующие стихии, таковы:
огонь (обращенный вершиной вверх),
воду (обращенный вершиной вниз),
воздух (обращенный усеченной вершиной вверх),
землю (обращенный усеченной вершиной вниз).
У китайцев треугольник с подвешенными мечами символизирует восстановление.
У христиан равносторонний треугольник или треугольник, образованный тремя пересекающимися кругами, символизирует Троицу в единении и равенстве трех составляющих ее лиц. Треугольное сияние — атрибут Бога-Отца.
У египтян треугольник символизирует Триаду. Они сравнивают вертикальную сторону (прямоугольного треугольника) с мужчиной, горизонтальную — с женщиной, а гипотенузу — с их потомком: Озирис как начало, Изида как середина или хранилище и Гор как завершение (Плутарх). Рука Египтян — это союз огня и воды, мужчины и женщины. Фигура из трех двойных треугольников, окруженная концентрическими кругами, символизирует Кхуй, Страну Духов.
У греков дельта символизирует дверь жизни, женское начало, плодородие.
У индийцев обращенные вершинами вверх и вниз треугольники — это шакта и шакти, лингам и йони, Шива и его Шакти.
У пифагорейцев равносторонний треугольник символизирует Афину как богиню мудрости.
Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла, о Треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы. В перевернутом виде он означает завершенное Великое Делание.
Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу — Отца, Сына и Святого Духа.
У масонов треугольник символизирует Тройственность космоса, а его стороны — Свет, Тьму и Время (основание).
Увиденный во сне треугольник символизирует материнское лоно космоса.
В Древнем Китае треугольник является «символом женского начала», однако не играет значительной роли в умозрительных рассуждениях. В тибетском тантризме комбинация двух равносторонних треугольников в виде гексаграммы представляет собой «проникновение в женственное мужского огня».
Символический знак «Сердце Хрунгнира» из трех переплетенных треугольников. Времена викингов. Остров Готланд .
В иудаизме и христианстве треугольник — знак Бога. Бог христианской Троицы иногда представлен глазом внутри треугольника или фигурой с треугольным нимбом. Алхимики использовали треугольники с вершинами, направленными вверх и вниз, в качестве знаков огня и воды. В более общем смысле линейные треугольники или композиции, имеющие форму треугольника, могут обозначать триады богов или другие тройственные понятия.
Магический треугольник христианских теософов есть знаменитая «абракадабра», которому они приписывали необыкновенные свойства.
Употребляясь в качестве магической формулы, это слово обычно вписывалось в или выстраивалась как перевернутый треугольник .
Сань цзяо фу, или «Треугольное Заклинание», представляет собой листок бумаги, на котором написаны заклинания, сложенный в форме треугольника.
Амулеты гностиков были разнообразны по форме: треугольные, прямоугольные, огонь — Теджас — красный — зеленый — треугольник.
Символы союза — все парные оппозиции, совершенный круг, пересекающиеся круги, двойной треугольник, андрогин, деревья с перевившимися ветвями, рог единорога, инь-ян, лингам и йони.
Важную роль в архитектуре играет геометрическая символика космоса: все круглые формы выражают идею неба, квадрат — это земля, треугольник- символизирует взаимодействие между землей и небом.
Готическая архитектура имеет в своей основе треугольник — символ Троицы. Пламенеющая готическая арка — задает тему огня и развивает апокалиптическую тему.
Источник
Как найти среднюю линию треугольника? Свойства, теорема
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
138.
5K
Не каждая геометрическая фигура может похвастаться таким количеством линий, как треугольник: медиана, средняя линия, биссектриса, высота, серединный перпендикуляр. В этот раз поговорим про среднюю линию и узнаем, зачем она нужна.
Понятие треугольника
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Виды треугольников:
- Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
- Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
- Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.
Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.
Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Свойства треугольников:
- В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
- Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
- Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут
Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас
Понятие средней линии треугольника
Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.
Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.
Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.
Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.
Запоминаем
Средняя линия параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.
В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.
Важное свойство
Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольных треугольника.
Свойства средней линии треугольника
Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
Свойства:
- Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
- Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
- Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
- Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.
Теорема о средней линии треугольника
Теорема о средней линии треугольника звучит так:
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:
Докажем теорему:
По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC
Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.
(по второму признаку подобия треугольников).
Так как △AMN ~ △ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.
Так как △AMN ~ △ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.
Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.
Теорема доказана.
Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.
Как найти периметр треугольника:
Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:
Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.
Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.
Решение:
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
S = ½ × AC × BC Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:
MN = ½ × AC
Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.
Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:
NP = ½ × BC
Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.
Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:
S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.
Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.
Шпаргалки по математике родителей
Все формулы по математике под рукой
Лидия Казанцева
Автор Skysmart
К предыдущей статье
365.
9K
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
К следующей статье
164.5K
Что такое рациональные числа?
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
символов в геометрии
Символы экономят время и место при написании. Вот наиболее распространенные геометрические символы:
.| Символ | Значение | Пример | Прописью |
|---|---|---|---|
| △ | Треугольник | △ABC имеет 3 равные стороны | Треугольник ABC имеет три равные стороны |
| ∠ | Угол | ∠ABC равен 45° | Угол, образованный треугольником ABC, равен 45 градусам. |
| ⊥ | Перпендикуляр | АВ⊥CD | Линия AB перпендикулярна линии CD |
| ∥ | Параллельный | EF∥GH | Линия EF параллельна линии GH |
| ° | градусов | 360° | 360 градусов (полный оборот!) |
| ∟ | Прямоугольный (90°) | ∟ равно 90° | Прямой угол равен 90 градусов |
| Линейный сегмент “AB” | АБ | Отрезок между А и В | |
| Линия “АВ” | Бесконечная линия, включающая A и B | ||
| Рэй “АБ” | Линия, которая начинается в A, проходит через B и продолжается на | ||
| ≅ | Конгруэнтные (одинаковая форма и размер) | △ABC ≅ △DEF | Треугольник ABC равен треугольнику DEF |
| ~ | Аналогичные (такой же формы, разного размера) | △DEF∼△MNO | Треугольник DEF подобен треугольнику MNO |
| ∴ | Поэтому | а=б б=а | a равно b, поэтому b равно a |
Пример: В △ABC ∠BAC равно ∟
На самом деле говорится: “В треугольнике ABC угол BAC прямой”
Именование углов
Для углов центральная буква находится там, где находится угол.
Пример: ∠ABC равен 45°
Точка “B” находится там, где находится угол.
3262, 3263, 3264, 3265, 3266, 3267, 3268, 3269, 5154, 5155
Разметка дорожного покрытия США — FHWA MUTCD
Услуги > Публикации
Для получения дополнительной информации: https://www.mutcd.fhwa.dot.gov
Контактная информация: Кевин Сильвестр, [email protected]
Эта публикация является архивной и может содержать датированную техническую информацию, контактную информацию и информацию о ссылках.
PDF-версия, 18 МБ
PDF-файлы можно просматривать с помощью Acrobat® Reader®
Предисловие
Разметка дорожного покрытия используется для передачи сообщений пользователям проезжей части. Они указывают, какой участок дороги следует использовать, предоставляют информацию об условиях впереди и указывают, где разрешен обгон. Желтые линии разделяют транспортные потоки, движущиеся в противоположных направлениях.
Водители должны оставаться справа от желтых линий. Сплошная желтая линия означает, что проезд запрещен. Желтая пунктирная линия означает, что проход разрешен. Белые линии разделяют полосы, движение по которым осуществляется в одном направлении. Двойная белая линия означает, что смена полосы движения запрещена. Одна белая линия указывает на то, что смена полосы движения не рекомендуется. Белая пунктирная линия указывает на то, что смена полосы движения разрешена.
Символы используются для обозначения разрешенного использования полосы движения. Ромб указывает на полосу, зарезервированную для использования транспортными средствами с высокой вместимостью. Велосипед указывает на полосу, предназначенную для велосипедистов. Стрелки показывают обязательные или разрешенные движения на перекрестках. Ряд сплошных треугольников указывает на то, что участник дорожного движения должен уступить дорогу.
Дорожная разметка также используется для предупреждения пользователей о потенциально опасных условиях впереди.
Буква X с буквой R с каждой стороны указывает на пересечение шоссе и железной дороги впереди. Пустой треугольник указывает на доход впереди. Ряд постепенно расширяющихся линий, пересекающих полосу движения, указывает на лежащий впереди «лежачий полицейский».
Стандарты для проектирования и нанесения дорожной разметки можно найти в Руководстве по унифицированным устройствам управления дорожным движением (MUTCD) . Спецификации по проектированию дорожной разметки приведены в Стандартной книге дорожных знаков . Обе эти книги доступны в Интернете по адресу https://mutcd.fhwa.dot.gov. MUTCD также можно приобрести через Американскую ассоциацию государственных служащих автомобильных дорог и транспорта (http://www.aashto.org), Институт инженеров транспорта (http://www.ite.org), Американскую Ассоциация служб безопасности дорожного движения (http://www.atssa.com) и Типография правительства США (http://www.gpo.gov). Standards Highway Signs Book можно приобрести в типографии правительства США и в Американской ассоциации служб безопасности дорожного движения.
Подготовлено в 2002 г.
Министерство транспорта США
Федеральное управление автомобильных дорог
Управление транспортных операций
FHWA-OP-02-090
Маркировка урожайности
Увеличенный вид маркировки урожайности
Подробное описание маркировки урожайности
Work Zone Pavement Markings
Enlarged View of Work Zone Pavement Markings
Detailed Description of Work Zone Pavement Markings
Miscellaneous Lane Markings
Enlarged View of Miscellaneous Lane Markings
Detailed Description of Miscellaneous Lane Разметка
Разметка перекрестка
Увеличенный вид разметки перекрестка
Подробное описание разметки перекрестка
Двусторонние маркировки дорожного движения
Увеличенный вид двусторонней маркировки дорожного движения
Подробное описание двухсторонней маркировки дорожного движения
Входы на автострады и выходные маркировки
Enlarged View of Exitway Markings Markings
Enlarged View of Exitway.
