Круг значение: Круг | это… Что такое Круг?

Круг и сфера (символы). История и значение в разных культурах

В глубокой древности круг считался символом годовых сезонных циклов, которые обозначались при помощи звуков, во время произношения которых рот принимал кольцеобразную форму. Геометрическая символика круга имеет тройное значение: это и круговорот жизни, и временной цикл, и божественное начало. В центре круга находится точка, из которой берет начало движение, а сама эта фигура является своеобразным «развитием» этого центра. Таким образом, точка толковалась как начало жизни, тогда как сам круг служил олицетворением цикличного повторения времен года, жизни и смерти, времени суток.

Дж. У. Уотерхауз. Магический круг

Эдемский сад. Миниатюра из «Роскошного часослова герцога Беррийского», XV в.

Зодиакальный круг изображает хоровод планет вокруг Солнца, который находит отражение в архитектуре кругоподобных храмов, круговом танце дервишей, движении мусульманских паломников вокруг Каабы в Мекке, а также православного священника с кадилом в руках вокруг алтаря. Все эти обряды символизируют собой участие в великом ритме Вселенной.

Символ Уроборос — круг, представленный в образе змеи, кусающей свой хвост, — олицетворяет вечность и жизнь. В астрологии круг ассоциируют с солярным символом, порождающей силой Солнца, перед которой преклонялись еще древние египтяне, что нашло свое отражение в изображении кнефа — крылатого диска. Древние люди также использовали идею круга в ритуалах поклонения солярному богу. Неотъемлемой частью таких ритуалов стали замкнутые кольцеобразные шествия-хороводы. Считалось, что так можно оказать содействие божеству в трудные периоды его годового цикла: во время солнцестояния, равноденствия, затмения.

Дж. ди Паоло. Творение

Ханга — эмблема сикхов. Этот сак раль – ный символ состоит из трех видов хо – лод ного оружия. Кольцевидное оружие чаккар в центре эмблемы трактуется как единство Бога

Система мироустройства из «Нюрнбергской хроники», XV в.

Моралист. Иллюстрация к книге «Корабль дураков» С. Брандта. Гравюра XVI в.

Круг использовался как мощное средство защиты от злых духов, которые не могли вступить в пространство, ограниченное этой геометрической фигурой, прочерченной на земле или полу железным стержнем, а позднее просто мелом. Как пример, можно вспомнить произведение Гоголя «Вий», в котором описывается, как нечистая сила не могла заметить и, следовательно, навредить Хоме, очертившему вокруг себя круг. В Китае вокруг костра, на котором сжигают заключенных в сосуд злых духов, мелом рисуют окружность, олицетворяющую крепость, лишенную выхода, из которой невозможно сбежать.

Схожую функцию выполняет земляной вал, который китайцы возводят вокруг могил, чтобы отпугнуть злых духов, крадущих приношения, предназначенные для усопших. Китайцы также используют амулеты в виде золотого обруча, который снабжают широкой защелкой, носящей название застежки долгой жизни. Эта застежка служит олицетворением того, что дух долголетия и счастья находится в безопасности (буквально «закрыт на замочек») и впредь сможет посылать благодеяния владельцу оберега. Обычно такие своеобразные замки родители дарят новорожденному на 19-й день второго лунного месяца, на который выпадает день рождения Будды.

К символике магического круга достаточно близки цепочки защиты, которые маги вычерчивают вокруг людей и растений. Считается, что таким образом последние смогут приобрести сверхъестественные свойства, а человек сможет оградить себя от дурных влияний. В Японии аналогичную функцию выполняет священная веревка из рисовой соломы, называемая шименава. Согласно мифологическим представлениям японцев, она препятствует окончательному исчезновению солнца. Также, в целях защиты от вредоносных духов, ее набрасывают на деревья, священные холмы, участки, на которых планируется вести строительство, различные сооружения и т.д.

Под Новый год шименава укрепляют над входом в частные дома или храмы. Говоря о символизме круга, следует также упомянуть и волшебные кольца, которые носили кудесники, чтобы защитить свои пальцы от опасных влияний (именно от них и произошли различного рода кольца, браслеты и т. д.), а также для обеспечения связи между душой и телом. После смерти человека они снимались, чтобы дух мог вознестись на небо, а не остался прикованным к телу усопшего. Тибетские ламы также имеют магический инструмент кольцеобразной формы. Это киилор — круг, предназначенный для медитации. Буддисты верят, что он очерчивает духовные флюиды и мандалу — цветную диаграмму, которую рисуют на ткани, бумаге, металле или земле.

Византийский круг зодиака

Олимпийские кольца. Пять колец символизируют пять частей света, спортсмены из которых принимают участие в Олимпийских играх

Небесная сфера из Атласа звездного неба астронома А. Целлариуса, XVII в.

Христос с круглым нимбом за головой. Мозаика в церкви Св. Козьмы и Демьяна, Рим

Витрувианский человек Л. да Винчи

Флаг Португалии

Флаг Гренландии

Флаг саамской народности

Шамбала

Тибетские буддисты верят в существование Шамбалы — мистической страны, спрятанной где-то в Гималаях. Древние трактаты говорят о том, что в последние времена она станет последней обителью для праведных. Шамбала не может быть видима всем и каждому, путь туда открыт только для посвященных, достигших определенной степени просветления. Иногда это понятие трактуется не как конкретная страна, а особое состояние человеческой души. Тибетские монахи изображают Шамбалу в виде круга или колеса, в центре которого находится царь Калка-раджа, которому в будущем придется вести войну против варваров, защищая высшие ценности буддизма.

Шамбала. Средневековая тибетская танка

Диаграмма Инь-ян

Развернутая даосская монада

Современная даосская монада, изображающая концепцию инь-ян

Круглый стол короля Артура

По легенде, король Артур вместе со своими рыцарями собирался за круглым столом для обсуждения важных вопросов войны и управления королевством. Особенность стола круглой формы заключается в том, что невозможно сесть во главе, т.е. все сидящие формально находятся в одинаковом иерархическом положении. В конце XIII в. английские короли попытались возродить эту легендарную традицию. В Винчестерском замке был сооружен огромный круглый стол, за которым собирался цвет рыцарства. Однако это была только имитация, апеллирующая к героическим мифам, но не имевшая реального политического значения. В современном мире термин «круглый стол» означает проведение дискуссии или переговоров между равными сторонами в равных условиях.

Рыцари Круглого стола. Средневековая английская миниатюра

Круглый стол в Винчестере

Круги ада и сферы рая

Согласно католической теологии, загробный мир состоит из трех основных частей: рая, чистилища и ада. В свою очередь, ад и чистилище делятся на круги, а рай — на сферические небеса.

Умбон на щите

В Античности и Средние века было принято помещать в центре щита круглую металлическую бляху — умбон. Кроме чисто утилитарного, этот элемент имел и символическое значение. Он символизировал омфал — пуп Земли. Таким образом, щит ассоциировался с Землей, что символически повышало его магические защитные свойства.

Омфал — пуп Земли в Дельфах

Франский воин времен Карла Великого, опирающийся на круглый щит с умбоном в центре

«Цветок жизни»

Сложная геометрическая фигура «Цветок жизни» являлась мощным сакральным символом еще в Древнем Египте, где ее самые ранние изображения были обнаружены в храме Осириса в Абидосе. Этот символ использовался в Финикии, Ассирии и Индии, в Западной Европе он достаточно широко представлен в готической архитектуре.

Геометрическое изображение символа «Цветок жизни»

Астрономическая сфера

Геометрическая форма сферы для моделирования устройства Вселенной была впервые использована греческим ученым Эратосфеном в III в. до н.э. В центре сферической каркасной конструкции помещали шар, который сперва символизировал Землю, а затем, с отказом от геоцентрической системы, Солнце. Таким образом, астрономическая сфера стала символом мироустройства. В эпоху Ренессанса эта конструкция превратилась в символ высшей мудрости. Ее часто любили изображать на портретах ученых. В начале XVI в. португальский король Мануэль I ввел астрономическую сферу в герб и флаг государства. С этого времени данная фигура вместе с семью башнями является официальным символом Португалии.

Космографическая сфера. Гравюра XVII в.

Модель Вселенной Кеплера

Кольца барромео

Кольца Барромео как символ Святой Троицы

Современное изображение колец Барромео

Символика четырех элементов

Для каждого из четырех традиционных элементов, или стихий, существует свой круговой символ. Причем принятый в данной системе символ Земли и Воздуха иногда используется для обозначения Солнца.

Небо на плечах

По древнегреческим мифам, небо покоится на плечах титана Атланта. Добывая золотые яблоки гесперид, Геракл на время принял у Атланта эту тяжелую ношу.

Здание прусской Академии наук в Потсдаме

Г. Альдегревер. Геракл держит небо на плечах

В эпоху Нового времени в Европе символический мотив неба на плечах пользовался большой популярностью. Статуя Геракла с небесной сферой на плечах украшает крышу здания прусской Академии наук в Потсдаме.

Поделиться ссылкой

Круг. История символа и его значение

“Во сне мне привиделась вечность
Будто кольцо бесконечного чистого света
Столь же спокойного, сколь яркого”

(Генри Во, «Мир»)

Круг — это солярный символ, что обусловлено не только формой, но и круговым характером суточного и годового движения солнца. Соотносится со сферой как идеальным геометрическим телом, а также с числом десять, символом полного цикла, возвращения от множественности к единству. Тесно связан с символизмом колеса – движение по кругу означает постоянное возвращение к самому себе.

Основные значения:
 – божественное начало, Бог, Небо, небесное единство, (первоначальное) совершенство, Всеобщее;
 – отсутствие начала и конца, Вечность, целостность, непрерывность;
 – соразмерное ограничение, видимый (явленный) мир, точность, заключение;
 – светила, Солнце;
 – движение, динамизм;
 – круговорот жизни, временной цикл, солярные циклы, вращение, возвратное и/ или цикличное движение, непрерывное развитие;
 – завершение, исполнение;
 – мужская сила;
 – женственный и материнский принцип;
 – душа.

В древней традиции солнечный круг олицетворял понятие «Сердце Мира». Древний дохристианский знак колеса-солнца. Как бесконечная линия символизирует время в вечности, которая также изображается в виде змея, кусающего себя за хвост (Уробороса).

Круг — одна из форм созидания пространства. Различные архитектурные строения являются круглыми в плане, в форме окружности возводятся поселения. Круг — это форма кочевых шатров и поселений, символизирующая динамизм и бесконечное движение в противовес квадратам домов, участкам земли и городам оседлых и зерносеющих народов.

Одной из основных функций круга является разграничение внутреннего и внешнего пространства. Считается, что круг – идеальный охранный знак, все помещенное внутрь круга становится недосягаемым для враждебных сущностей. Недаром маги всех времен использовали этот символ именно в защитных целях: большинство магических операций, описанных в известных источниках, требуют начертания особого круга, в котором должен находиться маг во время работы.

Направление начертания серьезно влияет на значение символа. Круг, нарисованный по часовой стрелке, олицетворяет начало, развитие любого процесса, прогресс. Движение против часовой стрелки означает прекращение процесса – этот вариант обычно используют целители, обводя больное место пальцем противосолонь: считается, что в таком случае боль уйдет, воспаление прекратится.

В большинстве традиций космос, в качестве упорядоченного пространства жизни, предстает в виде шара, графически изображаемого посредством круга. В символике круга также нашла отражение идея цикличности времени (русское слово «время» прослеживается до корня со значением «то, что вращается»; зодиак, олицетворение года, – это «круг зверей»).

Например, в мандале внешний круг символизирует целостность универсума, вписанный в него квадрат – пространство обитаемого мира, тогда как круг внутри квадрата содержит сакральный объект почитания.

В западной традиции представление о синтезе круга и квадрата воплощено в понятии квадратуры круга. Круг с квадратом – это Небо и Земля, интеграция, соединение; они предполагают друг друга, как время и пространство. Вписать квадрат в круг – значит трансформировать сферическую форму Небес в прямоугольную форму Земли в культовом здании, храме или церкви, опустив Небо до Земли и объединив четыре элемента, и возвратиться к изначальному состоянию простоты в единстве. (Запись про квадрат) Промежуточной ступенью в пересечении круга квадратом является восьмиугольник.

У американских индейцев круг, сияющий вовнутрь и наружу, подобно оперенному солнцу олицетворяет вселенную. Круги, сделанные при разбивке лагеря, и циркулярные вершины тентов являются образом космоса, где северная сторона означает Небо, а южная – Землю. Небольшие кружки на жертвенных сосудах часто представляют собой жертвенную облатку, хлебец.

В дзен-буддизме, где отсутствует понятие Бога, круг становится символом просветления как абсолюта. Китайский символ инь-ян, имеющий вид круга, разделенного пополам волнистой линией, символизирует взаимодействие, взаимопроникновение двух начал бытия.

У Данте Троица воплощена в образе трех равновеликих кругов разного цвета. Один из них (Бог Сын) являлся как бы отражением другого (Бога Отца), словно радуга, рожденная радугой, а третий (Бог Дух) казался пламенем, рожденным обоими этими кругами (согласно учению католицизма, Святой Дух исходит от Отца и Сына). В этом контексте символика круга утвердилась при фиксировании идеи верховной власти на земле (шар-держава, кольцо).

В христианстве концентрические круги представляют духовные иерархии или разные стадии творения. Три пересекающих друг друга круга означают Троицу. Равнобедренный треугольник с тремя кругами является монограммой трех ипостасей одного Бога.

В силу того, что круг традиционно соотносится с солнцем и рассматривается как самая совершенная из фигур, превосходящая прочие, господствующая над ними, то верховное божество также представляется в виде круга. Круг – символ всех солнечных богов.

Центр круга – источник бесконечного вращения времени и пространства. Круг с точкой в центре олицетворяет полный цикл и возобновляющееся совершенство, разрешение всех возможностей в существовании. В астрологии такой круг символизирует Солнце, в алхимии – Солнце и золото.

Два одинаковых круга – это женское и мужское, любовь и знание, Диоскуры.

Три концентрических круга символизируют прошлое, настоящее и будущее; три сферы земли: землю, воздух и воду; небесные миры, землю и преисподнюю; фазы луны; восходящее, полуденное и заходящее солнце, а также динамику примирения противоположностей.

Тройные круги и три сцепленных круга олицетворяют Троицу, неразделимое единство жизни, движения и напряженного динамизма.

Четыре круга, связанные центральным, наподобие креста, – это мудрость, знание и надежда.

Семикратный солярный круг символизирует Всезнающего, совершенство, Семь Небес.

Основная статья про простейшие символьные формы (http://proklarush.livejournal.com/4458.html).

Источники:
1. New Ethnic. Круг (http://www.ta1.ru/home/geometriya/kryg/)
2. Значение слова Круг по словарю Символизма (http://tolkslovar.ru/k11816.html)
3. Круг. Энциклопедия символов и знаков (http://sigils.ru/symbols/krug.html)
4. Простейших символических форм всего три (http://www.liveinternet.ru/users/3124180/post257207106/)
5. Энциклопедия геральдики и символики – Круг (http://www.symbolarium.ru/index.php/Круг)

Круговые уравнения

Круг сделать легко:

Нарисуйте кривую с радиусом
от центральной точки.

И так:

Все точки находятся на одинаковом расстоянии
от центра.

 

На самом деле определение круга равно

Окружность: Набор всех точек на плоскости, находящихся на фиксированном расстоянии от центра.

Круг на графике

Нанесем на график окружность радиусом 5:

Теперь давайте вычислим ровно , где находятся все точки.

Делаем прямоугольный треугольник:

А затем используйте Пифагор:

x ² + у ² = 5 ²

Таких точек бесконечное количество, вот несколько примеров:

х	г	x 2 + у 2
5	0	5 2 + 0 2 = 25 + 0 = 25
3	4	3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25
0	5	0 2 + 5 2 = 0 + 25 = 25
−4	−3	(-4) 2 + (-3) 2 = 16 + 9 = 25
0	−5	0 2 + (−5) 2 = 0 + 25 = 25

Во всех случаях точка на окружности следует правилу x ² + y ² = радиус ²

Мы можем использовать эту идею, чтобы найти пропущенное значение

Пример:

x значение 2 и Radius из 5

Start с: x

2 + Y ² = R ²

2 = 5 ² – 2 ²

Квадратный корень Обе стороны: y = ± √ (5 ² – 2 ² )

Решай: y = ± √21

Y ≈

9 ± 4. 5888888888888888 …

( ± означает, что есть два возможных значения: одно с + другой с − )

А вот две точки:

Более общий случай

Теперь поместим центр в (a,b)

Итак, круг равен всем точкам (x,y) , которые находятся на расстоянии “r” от центра (a,b) .

Теперь давайте выясним, где находятся точки (используя прямоугольный треугольник и Пифагор):

Та же идея, что и раньше, но нам нужно вычесть из и из :

.

(х-а) ² + (у-б) ² = г ²

И это “Стандартная форма” для уравнения окружности!

 

Сразу показывает всю важную информацию: центр (a,b) и радиус r .

Пример: Окружность с центром в точке (3,4) и радиусом 6:

Начните с:

(x-a) ² + (y-b) ² = r ²

Вставьте (a,b) и r:

(x-3 29044) + (y−4) ² = 6 ²

Затем мы можем использовать наши навыки алгебры, чтобы упростить и изменить это уравнение в зависимости от того, для чего оно нам нужно.

Попробуйте сами

изображения/circle-equn.js

“Общая форма”

Но вы можете видеть уравнение окружности и не знать его !

Потому что это может не быть в аккуратной “Стандартной форме” выше.

В качестве примера давайте присвоим несколько значений a, b и r, а затем расширим их

Начните с: (x−a) ²

+ (y−b) ² = r ²

Пример: a=1, b=2, r=3:(x−1) ² + (y−2) ² = 3 ²

Развернуть: x ² − 2x + 1 + y ² − 4y + 4 = 9

Собрать подобные члены: x 3 2 2 – 2x – 4y + 1 + 4 – 9= 0

И получаем вот это:

х ² + у ² – 2х – 4у – 4 = 0

Это уравнение окружности, но “замаскированное”!

Итак, когда вы видите что-то подобное, подумайте “Хмм… что может быть кругом!”

На самом деле мы можем записать это в “Общая форма” , поставив константы вместо чисел:

x ² + y ² + Ax + By + C = 0

Примечание. Общая форма всегда имеет x ² + y

2 для первых двух членов .

Переход от общей формы к стандартной форме

Теперь представьте, что у нас есть уравнение в общей форме :

x ² + y ² + Ax + By + C = 0

Как мы можем ввести его в стандартную форму вот так?

(х-а) ² + (у-б) ² = г ²

Ответ состоит в том, чтобы заполнить квадрат (прочитайте об этом) дважды … один раз для x и один раз для y :

Пример: x

² + y ² – 2x – 4y – 4 = 0

Начните с: x ² + y ² – 2x – 4y – 4 = 0 x

y с вместе: (x ² − 2x) + (y ² − 4y) − 4 = 0

Константа справа: (x ² − 2x) + (y ² − 4y) = 4

Теперь заполните квадрат на x (взять половину -2, возвести в квадрат и прибавить к обеим сторонам):

(x ² – 2x + (-1) ² ) + (y ² – 4y) = 4 + (−1) ²

И возведи в квадрат y (возьми половину −4, возведи в квадрат и прибавь к обеим сторонам):

(x ² − 2x + (−1) ² ) + (y ² − 4y + (−2) ² ) = 4 + (−1) ² + (−2) ²

Привести в порядок:

² – 2х + 1) + (у ² – 4у + 4) = 9

Наконец: (х – 1) ² + (у – 2) ² = 3 ²

3 И у нас это в стандартной форме!

(Примечание: здесь использовался предыдущий пример a=1, b=2, r=3, так что мы поняли правильно!)

Единичный круг

Если мы поместим центр круга в (0,0) и установим радиус равным 1, мы получим:

(х-а) 2 + (у-б) 2 = г 2 (х-0) 2 + (у-0) 2 = 1 2 х 2 + у 2 = 1 Какое уравнение единичной окружности

Как нарисовать круг вручную

1. Участок центра (a,b)

2. Нанесите 4 точки «радиуса» от центра вверх, вниз, влево и вправо

3. Зарисуйте!

Пример: График (x−4)

² + (y−2) ² = 25

Формула для окружности: (x−a) ² + (y−b) ² = r ²

Таким образом, центр составляет (4,2)

и R ² – 25 , поэтому радиус – √25 = 5

Таким образом, мы можем построить:

• Центр: (4,2)
• Вверх: (4,2+5) = (4,7)
• Вниз: (4,2−5) = (4,−3)
• Слева: (4−5,2) = (−1,2)
• Справа: (4+5,2) = (9,2)

Теперь просто нарисуйте в круге как можно лучше!

Как нарисовать круг на компьютере

Нам нужно изменить формулу так, чтобы получилось “y=”.

У нас должно получиться два уравнения (вверху и внизу круга), которые затем можно построить.

Пример: График (x−4)

² + (y−2) ² = 25

Таким образом, центр находится в точке (4,2), а радиус равен √25 = 5

Переставить, чтобы получить “y=”:

Начать с: (x−4) ² + (y−2) ² = 25

Переместить (x−4) ² вправо: ( y−2) ² = 25 − (x−4) ²

Извлечем квадратный корень: (y−2) = ± √[25 − (x−4) ² ]

  (замечание ± “плюс/минус” …
может быть два квадратных корня!)

Переместите “-2” вправо: y = 2 ± √[25 – (x-4) ² ]

 

Итак, когда мы построим эти два уравнения, у нас должен быть круг:

• у = 2 + √[25 – (x−4) ² ]
• у = 2 – √[25 – (х-4) ² ]

Попробуйте изобразить эти функции на графике функций.

Также можно использовать Equation Grapher, чтобы сделать все это за один раз.

 

8526, 8527, 8539, 8540, 8515, 8516, 569, 8544, 8559, 8560, 570, 1209

Единичный круг

 

“Единичный круг” представляет собой круг с радиусом 1,

Будучи таким простым, это отличный способ узнать и обсудить длины и углы.

Центр находится на графике, где оси x и y пересекаются, поэтому здесь мы получаем это аккуратное расположение.

 

Синус, косинус и тангенс

Поскольку радиус равен 1, мы можем напрямую измерить синус, косинус и тангенс.

Что происходит, когда угол θ равен 0°?

cos 0° = 1, sin 0° = 0 и tan 0° = 0

Что происходит, когда θ равно 90°?

cos 90° = 0, sin 90° = 1 и тангенс 90° не определен

Попробуйте сами!

Попробуйте! Перемещайте мышь, чтобы увидеть, как различные углы (в радианах или градусах) влияют на синус, косинус и тангенс

../алгебра/изображения/круг-треугольник.js

“Стороны” могут быть положительными или отрицательными в соответствии с правилами декартовых координат. Это также приводит к изменению синуса, косинуса и тангенса между положительными и отрицательными значениями.

 

Также попробуйте Interactive Unit Circle.

 

Пифагор

Теорема Пифагора утверждает, что для прямоугольного треугольника квадрат длинной стороны равен сумме квадратов двух других сторон:

x ² + у ² = 1 ²

Но 1 ² — это всего лишь 1, поэтому:

х ² + у ² = 1
уравнение единичной окружности

Также, поскольку x=cos и y=sin, мы получаем:

(cos(θ)) ² + (sin(θ)) ² = 1
полезное «тождество»

Важные углы: 30

° , 45 ° и 60 °

Вы должны попытаться запомнить sin, cos и tan для углов 30 ° , 45 ° и 60 ° .

Да, да, запоминать что-то неприятно, но это облегчит жизнь, если вы будете знать это не только на экзаменах, но и в других случаях, когда вам нужно делать быстрые оценки и т. д.

Вот значения, которые вы должны запомнить!

Уголок	Кос	Грех	Tan=Sin/Cos
30 °	√3 2	1 2	1 √3 “=” √3 3
45 °	√2 2	√2 2	1
60 °	1 2	√3 2	√3

Как запомнить?

, чтобы помочь вам запомнить, COS GOS “3,2,1”

COS (30 ° ) = √ 3 2

COS (45 ° ) = 338 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = . √ 2 2

 cos(60 ° )  =   √ 1 2   =   1 2

 

And, sin goes “1,2,3” :

 sin(30 ° ) = √ 1 2 = 1 2 (Потому что √1 = 1)

SIN (45 ° ) = √ 23397 ° ) = √ 23339739. ) = √ 27333393979. ) = a ° ) = √ 3 2

Только 3 числа

Фактически, знание 3 числа достаточно: 1 2 , √2 2 , √2 2 , a 2

Потому что они подходят для обоих cos и sin :

     

Ваша рука может помочь вам вспомнить:

      

Например, есть 3 пальца выше 30°, поэтому cos(30°) = √3 2

Что насчет загара?

Итак, tan = sin/cos , поэтому мы можем вычислить это так:

tan(30°) = sin(30°) cos(30°)  =  1/2 √3/2 = 1 √3 = √3 3 *

tan(45°) = sin(45°) cos(45°)  =  √2/2 √2/2 = 1 

tan(60°) = sin(60°) cos(60°)  =  √3/2 1/2 = √3 

* Примечание: написание 1 √3 может стоить вам марок, поэтому вместо этого используйте √3 3 (подробнее см. Рациональные знаменатели).

Быстрый набросок

Еще один способ запомнить значения 30° и 60° — сделать быстрый набросок:

Начертите треугольник со сторонами, равными 2
Разрезать пополам. Пифагор говорит, что новая сторона равна √3 . 1 2 + (√3) 2 = 2 2 1 + 3 = 4
Затем используйте sohcahtoa для sin, cos или tan

Пример: sin(30°)

Синус: soh cahtoa

синус противоположно деленному на гипотенузу

sin(30°) = напротив гипотенуза “=” 1 2

 

Весь круг

Для всего круга нам нужны значения в каждом квадранте с правильным знаком плюс или минус в декартовых координатах:

 

Обратите внимание, что cos — первое, а sin — второе, поэтому получается (cos, sin) :

Сохранить как PDF

Пример: Что такое cos(330°) ?

 

Сделайте такой набросок, и мы увидим, что это «длинное» значение:   √3 2

А это тот же Единичный Круг в радиан .

Пример: Что такое sin(7π/6) ?

 

Подумайте «7π/6 = π + π/6», затем сделайте набросок.

Затем мы видим, что это отрицательное и является «коротким» значением: −½

 

7708, 7709, 7710, 7711, 8903, 8904, 8906, 8907, 8905, 8908

 

Сноска: откуда берутся значения?

Мы можем использовать уравнение x ² + y ² = 1, чтобы найти длины x и y (которые равны cos и sin

0, когда радиус равен 19001) :

45 градусов

на 45 градусов, x и y равны, поэтому Y = X :

x ² + x ² = 1

2x ² = 1 = 1

2x ² = 1

9000 2

2 ^.